e = 2,71828182845904...
SOBRE EL NÚMERO EXPONENCIAL
El misterioso número
exponencial (e = 2,71828182845904…), base de los logaritmos
naturales, suele aparecer en múltiples crecimientos biológicos y poblacionales, modelos probabilísticos,
económicos, astronómicos, etc.
Desde luego que es válido
preguntase: ¿Otro número irracional, con infinito número de decimales?
El término crecimiento
exponencial se aplica generalmente a una magnitud M que crece con el
tiempo de acuerdo con la ecuación:
Donde:
- Mt es valor de la magnitud en el instante t >0; 2,71828182845904…
- M0 es
el valor inicial en el que empezamos a medir la variable;
- r es la llamada
tasa de crecimiento instantánea;
- e = 2,71828182845904...
El nombre naturalmente se
refiere al crecimiento de una función exponencial de la forma y = ax con r = ln(a).
Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la última ecuación a = 2 y x un valor entero. Por ejemplo si x = 4, y es y =
2x2x2x2 = 16. Si x = 10 entonces y = 1024. Y así sucesivamente.
El modelo exponencial es un modelo demográfico y ecológico para modelizar el crecimiento de las poblaciones y la difusión epidémica de un rasgo entre una
población, basado en el crecimiento exponencial
Sea x(t) el tamaño de la población al tiempo t, el modelo exponencial presupone que la tasa de aumento de la
poblaciones proporcional a la población en el instante:
Donde k es una constante de proporcionalidad y x es el tamaño de
la población en el instante t. Esa ecuación (1) puede resultar adecuada
cuando el tamaño de la población es pequeño en relación a las dimensiones del
ecosistema, y en ese caso k es la tasa de aumento de la población que
iguala a la tasa de natalidad menos la tasa de mortalidad.
Si
el tamaño de la población en un instante t0 es x0,
el modelo exponencial predice que en cualquier otro instante futuro (t > t0) la población viene dada, por la solución de la
ecuación diferencial (1):
Fenómenos
con crecimiento exponencial:
- El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno.
-
-
En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa coincide con el índice de inflación.
-
El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n.
-
Crecimiento biológico, poblacional y ecológico.
Es manía de
los matemáticos y de los aficionados como yo, buscar la manera más elegante de
expresar cualquier función, término o concepto. Entendiendo por elegancia, el
expresarlo en forma inequívoca con el menor número de términos, operaciones y
signos. Así que aunque existen mucha fórmulas para expresar “e”, les adjunto la que me parece mas bella:
e = ( 1 + 1/n )n n→∞
y aunque se han calculado millones
de decimales, comprobando que no existe ninguna regularidad y periodo, les
adjunto su valor con catorce decimales ciertos, por ser lo que suelen manejar
las hojas electrónicas de cálculo y que son muy útiles para hacer
comprobaciones empíricas o aproximadas.
e = 2,71828182845904...
Por otro lado, tengo la
sospecha de que e y Φ son parientes
cercanos, ya que ambos aparecen en el crecimiento de poblaciones, aunque en
diferentes enfoques.
Φ =1,61803398874989
... (proporción áurea)
Ya en el año 1202 Fibonacci (Leonardo de Pisa) había observado esto y lo
publicó en su libro Liber Abaci,
con las sucesiones de Fibonacci, en las
cuales, el cociente de cada término con su antecesor es el número Φ (aunque parece que él no lo supo) y
cada número se obtiene sumando los dos anteriores.
Una serie: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
233, ...
Aquí justamente, nos
emparentamos también con la geometría fractal, pero eso es otro tema, que si le
interesa estas reflexiones pude ver otros artículos e informaciones en el menú
del área matemática.
Para conocer sobre la
historia del número exponencial les sugiero el siguiente web site: http://www.astroseti.org/imprime.php?num=3490