Fractales  y  Caos

¿VOLUMENES  VS   BORDES?

¿COMPOSICIÓN    VS   FRACTURA?

 

Por Ibo Bonilla Oconitrillo

 

Los matemáticos y los filósofos, nos parecen tan lejanos como locos, sin embargo, con su enfermiza racionalidad nos calan hasta la mínima neurona: Aristóteles nos implantó un dualismo, que veinti tantos siglos después sigue creando fundamentalismos, Euclides nos condujo a percibir y estudiar la forma, olvidando la fractura, la rugosidad.

 

Las formas se habían estudiado como la parte suave de las  cosas, éstas están profundamente ligadas a la esfera, como extrapolación de suavidad y tridimensionalidad del círculo, incluso la luz, el sonido, el color, etc, están asociados a la constante esférica Pi (p ). Seguramente por eso allí radica la atracción mágica que ejerce sobre las mentes racionales de todas las épocas y culturas.

 

Si cedemos a Aristóteles tendríamos que decir que lo opuesto a la suavidad es la rugosidad, que ahora se está abordando con la geometría de los fractales, en contraposición a la geometría euclideana y sus derivadas.

 

Durante estos veinte siglos el tema había sido abordado por los artistas, que parece siempre han entendido que la realidad es una sola, que cuerpo y piel son una sola cosa, que se necesitan mutuamente para funcionar, independientemente de que se analicen por aparte.

 

Los  fractales conectan de inmediato con la teoría del caos y a los sistemas dinámicos y esto nos acerca muy rápido a una comprensión un poco mas armónica e integral de la realidad.

 

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoit  Mandelbrot en 1975. En muchos casos los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iteractivo capaz de producir estructuras autosimilares independientemente de la escala específica. Los fractales son estructuras geométricas que combinan irregularidad y estructura.

 

A finales del siglo XIX y comienzos del XX, un grupo de matemáticos, encabezados por Peano, Hilbert, Koch y Sierpinski, entre otros, formularon una nueva familia de curvas con inquietantes propiedades matemáticas que escapaban a todo intento de clasificación hasta el momento.

Al contrario que la geometría utilizada entonces (basada en rectángulos, círculos, triángulos, elipses, etc.), esta nueva geometría describe sinuosas curvas, espirales y filamentos que se retuercen sobre sí mismos dando elaboradas figuras cuyos detalles se pierden en el infinito.

En 1977, con la ayuda de las grandes computadoras de la IBM, el científico franco-polaco Benoit  Mandelbrot pudo obtener la primera imagen de esta nueva geometría, que posteriormente él llamaría Geometría Fractal. En 1980, la publicación de su libro La Geometría Fractal de la Naturaleza popularizó la geometría fractal y originó el surgimiento de imágenes como las que se muestran abajo, además pude encontrar una cantidad importante de arte fractal, haciendo clic en:

http://www.epsilones.com/paginas/i-fractales.html

http://geocities.com/zeoz/fractals.html

http://aixa.ugr.es/fractal.html

 

                                         

Conjunto de Mandelbrot ..     Conjunto de Julia      .    ..  Conjunto de Julia

Divergencia:   z2 + c                Convergencia: c·ex              Inversión:  z3/2 + c

 

De hecho podemos entender la geometría fractal como la geometría de la naturaleza, del caos y del orden, con formas y secuencias que son localmente impredecibles, pero globalmente ordenadas, en contraste con la geometría euclídea, que representa objetos creados por el hombre.

 

Algunos matemáticos han tratado de aplicar una lógica de continuidad en sus definiciones y procedimientos, con lo cual de nuevo se alejan de la aplicación real a fenómenos tan diversos como el comportamiento meteorológico, las operaciones bursátiles, conformación de nubes, costas, rayos, olas, playas, procesos geológicos, biológicos y sociales, mecánica de fluidos, sistemas neuronales, circulatorios, bronquiales, patrones cristalográficos, morfología vegetal, etc.

 

                  

       Caracoles              Romanescu, Brócoli                  Araucarias

 

La clave para la aplicación la ha dado hace poco el propio Benoit  Mandelbrot, cuando planteó la importancia de la “intermitencia” y los “atractores” como información inherente a la “iteración”.

 

Existe una “clave genética”  de “escala ecológica” que le indica cuando debe detenerse la fórmula de crecimiento para cada cosa y que representa su óptima economía de implantación natural en sistemas dinámicos.

 

El "efecto mariposa" es un concepto que incluye la noción de dependencia sensible en condiciones iniciales en la teoría científica “la teoría del caos”. La idea es que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales de un sistema dinámico pueden producir grandes variaciones en el comportamiento del sistema a largo plazo o recorrido.

Su nombre proviene del antiguo proverbio chino: “el aleteo de las alas de una mariposa se puede sentir al otro lado del mundo”.

La interpretación es que la realidad no es mecánica y no es lineal, o dicho de otra forma, la incapacidad del hombre y la ciencia de predecir y controlar la realidad, y que existe un orden en los acontecimientos aparentemente aleatorios.

El meteorólogo Edgard Lorenz fue el primero en analizar este concepto en un trabajo de 1963 para la Academia de Ciencias de Nueva Cork,  Lorenz  tratando de predecir el clima a través de fórmulas matemáticas que relacionaban variables como tiempo y humedad, lograba predecir el tiempo atmosférico del día siguiente. Cuando revisó los datos se dio cuenta que haciendo pequeñísimos cambios se lograban resultados absolutamente diferentes. Esto ocurre porque las variables meteorológicas están todas relacionadas.

Esta interrelación de causa-efecto se da en todos los eventos de la vida. Un pequeño cambio puede generar grandes resultados o dicho poéticamente: "el aleteo de una mariposa en China puede desatar una tormenta en Costa Rica".

La consecuencia práctica del efecto mariposa es que en sistemas complejos tales como el estado del tiempo o la bolsa de valores es muy difícil predecir con seguridad en un mediano rango de tiempo.

Sistemas Dinámicos y Teoría del Caos es la rama de las matemáticas que trata acerca del comportamiento cualitativo a largo plazo de un sistema dinámico.

 No se trata de encontrar soluciones exactas a las ecuaciones que definen dicho sistema dinámico (lo cual suele ser imposible), sino más bien el poder contestar preguntas como "¿A largo plazo, se estabilizará el sistema? ¿Y si lo hace, cuáles serán los estados posibles?" o "¿Variará el estado a largo plazo del sistema, si cambian las condiciones iniciales?"

Uno de los objetivos importantes aquí es describir los puntos fijos, o puntos estables de un sistema dinámico dado; son los valores de la variable que son constantes en el tiempo. Algunos de estos puntos son atractores, lo que significa que si el sistema 'arranca' en un estado cercano, convergerá hacia este punto fijo.

También nos interesan los puntos periódicos, o estados del sistema que se repiten una y otra vez. Los puntos periódicos también pueden ser atractores.

El teorema de Sarkovskii describe el número de puntos periódicos en un sistema dinámico discreto unidimensional.

Se llama caótico a todo sistema determinista que es sensible a las condiciones iniciales.

El ejemplo más espectacular es el de las formas fractales, y entre las fractales la más espectacular es el conjunto de Mandelbrot.  Este conjunto, se obtiene como  representación  del sistema dinámico  descrito  por  la  ecuación

 zn+1 = zn2 + c, que viene a ser una versión de una función logística pero para números complejos.

 

Nos encontramos de nuevo con un sistema determinista que es, sin embargo, impredecible, pues no hay ningún algoritmo que permita decidir a priori si un punto del plano complejo pertenece al conjunto o no: solo lo podemos saber iterando. Y basta que nos desplacemos un poco para que la situación cambie. Es decir, caos, puro caos, aunque se trate de un caos con una estructura extraordinaria, como se puede comprobar ampliando las imágenes arriba mostradas.

 

La geometría fractal, si bien no fue formalmente formulada hasta 1980, es cierto que por ser inherente a la naturaleza siempre ha estado allí, como fuente de inspiración artística, como principio científico de comprensión científica del orden, la estructura y sus relaciones y como base para los patrones de percepción estética.

 

Muchos artistas y arquitectos, desde hace miles de años, lo han aplicado: pintura china, las pagodas, templos en Tailandia, el Taj Mahal y mas recientemente la Sagrada Familia de Gauidí, la Torre Agbar de Jean Nouvel, el Jardín Botánico de Ferrater, etc.

 

Gracias al desarrollo informático, al excelente humor que caracteriza la mayoría de los ingenieros del software y a ese niño artista que los ronda, tenemos ahora poderosos programas, incluso gratis, que permiten ponerle color y animación a los gráficos creados mediante la geometría fractal, de nuevo entendiendo cuerpo y piel como una sola cosa, acercando así la ciencia y lo cotidiano.

 

Para ver mas arte fractal y aprender sobre geometría fractal, con un enfoque crítico y abundante humor, les recomiendo el web site de:

Alberto Rodríguez Santos: http://www.epsilones.com/paginas/i-fractales.html

 

Programa gratis para arte fractal:   http://www.apophysis.org/index.html

Programa para fractales con 30 días de prueba:  http://www.ultrafractal.com/

Y otras buenas aplicaciones:          http://geocities.com/zeoz/fractals.html

 

(Basta hacer Control + Clic para seguir el vínculo)

 

 

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