e^{i · π} + 1 = 0
FÓRMULA DE EULER

Por Ibo Bonilla Oconitrillo

Euler es más conocido por la formulación del número "e", la base exponencial, pero últimamente su famosa fórmula es la protagonista. Euler y Gauss son considerados los mayores genios de la matemática.

La Fórmula de Euler / Lindeman es considerada la más bella del mundo, porque en una forma sencilla y elegante relaciona 5 de las entidades fundamentales de la matemática (puedes ver artículos de cada una, en esta sección), y se encuentra en el centro de nuestras vidas: en el teléfono celular, meteorología, aviones, barcos, sistemas anti robo y todo lo que use el sistema de posicionamiento global, además, como dice Mimetist:

“Esta identidad se puede utilizar para obtener coordenadas con unos cálculos ridículos y una precisión asombrosa sin necesidad de calcular senos y cosenos… fue el primer paso (o uno de los primeros) para los sistemas GPS y GPRS que utilizan las coordenadas polares para determinar la posición del dispositivo y permitir su comunicación.

Y la belleza de todas estas cuestiones es la misma que pueda tener una obra de Shakespeare o un cuadro de Monet… con la diferencia de que la Identidad de Euler seguirá siendo cierta cuando todos los cuadros y libros se hayan quemado. “

En términos trigonométricos, ya no suena tan formidable, y quiere decir que el coseno de 180 grados es -1, (cos 180 = -1) y su representación gráfica es:

Hay varias formas de demostrar esta fórmula, pero les expondré la que considero más elegante:

DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE EULER

Partiendo de las Series de Taylor (1), (2) y (3):

Si en (1) sustituimos x por z·i,
Si consideramos que i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, etc.
Si agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro, entonces:

Sustituyendo (2) y (3) tenemos:

Sustituyendo z por π (PI):

Por lo tanto, obtenemos la Identidad de Euler / Lindeman:

e^{i · π} + 1 = 0

Fantástico ¿verdad?, por eso en alguna ocasión el matemático Benjamín Peirce les dijo a sus alumnos: "Caballeros, esto es sin duda cierto, es absolutamente paradójico, no podemos comprenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado y, por lo tanto, sabemos que debe ser verdad".

El problema de comprensión y acto de fe que lleva implícito, se puede mitigar con la siguiente expresión que les propongo:

iⁱ · e^π/2 - 1 = 0

que sí es entendible, ya que se puede calcular fácilmente con una calculadora, si consideramos que: I= iⁱ = 0,20787958140365...

(puede ver la demostración el artículo: el número imaginario)

De todas maneras, sinceramente hecho en falta que no contenga la otra importante y famosa constante universal: FI (Φ), por lo que propongo esta otra:

π + e + I+ β + Φ = 10

que incluye además el número de Boile ( β = 2,31415926535898... ) y la base decimal y con una simple calculadora se puede comprobar.

Hay que agregar el fantástico hecho de que sumando 5 números irracionales (con infinito número de decimales cada uno) se obtenga un número entero y que ese número no solo es la base decimal, sino que contiene el uno y el cero, emblemáticos en matemática y base del sistema binario. Total 8 entidades fundamentales en una sola fórmula. … Increíble, ¿verdad?

En el siguiente sitio: http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler

se puede observar una buena ilustración y explicación de la Fórmula de Euler utilizando el “plano complejo”.

Otro sitio interesante es: http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html

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